Как пишется: "по первому" или "по-первому"?

Варианты написания этого слова, могут сводится к одной вариации, а именно его к раздельному написанию данного слова. Причем что характерно именно его, то здесь практически ничего не зависет от того, какую часть речи оно представляет, а именно числительное, в рамках которого оно выступает или наречия, в рамках которого оно выступает особенно часто и в рамках которого, многие его, как раз таки воспринимают, так как оно очень часто, как раз таки отвечает на вопрос КАК?, который и отображает собой наречие.

"По первому" - это не наречие, а потому здесь нельзя выстраивать параллели со словами "по-новому", "по-старому" и т.д.

Вариант только один - раздельное написание!

А уж какой частью речи будет являться слово "первому", надо смотреть, исходя из контекста.

В остальных ответах, к большому сожалению, таятся довольно грубые ошибки.

Числительное "первому" может иметь признаки:

числительного: "по первому вопросу сегодня будет выступать Петров";

прилагательного, в этом случае числительное имеет качественное, а не количественное значение: "ребята увидели, что пошел первый снег";

существительного: "по Первому сегодня покажут интересное кино".

И, да: "по" - это предлог.